根据婚姻关系解除后的情形来看，如果发现前配偶在婚姻期间存在不忠行为，而且还有私生子的情况，那么如果这种行为已经构成了重婚罪或与其他异性长期非法同居，受损方有权向其提出离婚补偿请求。如果对方拒绝支付离婚补偿，受损权益方可以向**提起诉讼，并申请强制执行。

然而，如果对方的不忠行为并未达到重婚的程度，或者违反了与他人同居的法律规定，那么在这种情况下，受损方将无法采取任何法律手段。这是因为只有当不忠行为达到了重婚或与他人同居的严重程度时，才能作为离婚补偿的法定理由。根据《民法典》第一千零九十一条的规定，如果出现以下情形之一导致离婚，并且无过错方想要请求损害赔偿，包括：（一）重婚；（二）与他人同居；（三）实施家庭暴力；（四）遗弃家庭成员；（五）有其他重大过错。